BLOQUE II. FUNCIONES POLINOMIALES

 Función polinomial

Un polinomio es una función que tiene la forma:  

f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0

donde a1 son constantes reales y n es un entero positivo.

De manera general ya se puede decir que:

Tienen dominio Df=(−∞,∞), a menos que se indique explícitamente otro.

Un polinomio de grado n tiene n raíces reales y/o complejas, y puede factorizarse en términos de ellas.

Factorización: La factorización de un polinomio en x de grado n, Pn(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0,  en términos de sus  n  raíces (reales y/o complejas),  r1,r2,...rn,  es su expresión como el producto del coeficiente del término de grado  n:an,  multiplicado por los  n  factores de la forma:  x  menos la raíz (para cada una de las raíces reales y/o complejas), Pn(x)=an(x−r1)(x−r2)…(x−rn).

La multiplicidad de una raíz, es decir, el número de veces que cuenta como raíz de una función polinomial, es igual al número de factores lineales iguales en la factorización del polinomio, correspondientes a esa raíz.

Cuando no se conocen todas las raíces o únicamente interesa factorizar en términos de las raíces reales, se puede hacer una factorización parcial como Pn(x)=(x−r1)Qn−1(x)…(1).

Donde Qn−1(x) es otro polinomio de grado n−1 , que se obtiene al dividir Pn(x) entre x−r1 , como puede verse de (1). Este proceso puede repetirse buscando ahora las raíces de Qn−1 y continuar hasta donde sea posible.

Son funciones continuas en todo su dominio porque:

limx→canxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0=

ancn+an−1cn−1+...+a2c2+a1c+a0=f(c)

para c∈Df

No tienen asíntotas verticales ya que ningún valor de x genera una división entre cero.

No tienen asíntotas horizontales, los límites de un polinomio cuando x tiende a infinito o a menos infinito son también infinitos (positivos y/o negativos).

Las funciones constantes f(x)=a0 tienen como gráfica una recta horizontal que corta al eje y en a0.

Los polinomios de primer grado: f(x)=a1x+a0 tienen como gráfica una recta con pendiente a1 y corte al eje y en a0.

Los polinomios de segundo grado(x)=a2x2+a1x+a0 tiene como gráfica una parábola (con eje de simetría vertical) que:

tienen ceros o raíces (puntos de corte al eje x) en x1,2=−a1±a12−4a2a0√2a2 o no, si a12−4a2a0<0,

corte al eje y en a0

tiene vértice en (xv,yv) donde xv=−a12a2 y yv=f(xv);

abre hacia arriba si a2>0 y abre hacia abajo si a2<0 (ver desigualdades de segundo grado)

EJEMPLOS: