BLOQUE I. RELACIONES Y FUNCIONES

 RELACIÓN

Concepto: Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Imagen o Codominio. 

FUNCIÓN

Concepto: Función es una aplicación o mapeo f, es una relación entre un conjunto de partida X denominado dominio y un conjunto de llegada Y denominado imagen o Codominio de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento imagen f(x)

1. Funciones inyectivas

Reciben el nombre de funciones inyectivas aquel tipo de relación matemática entre dominio y codominio en el que cada uno de los valores del codominio se vincula únicamente a un valor del dominio. Es decir, x solo va a poder tener un único valor para un valor y determinado, o bien puede no tener valor (es decir un valor concreto de x puede no tener relación con y).

2. Funciones sobreyectivas

Las funciones sobreyectivas son todas aquellas en las que todos y cada uno de los elementos o valores del codominio (y) están relacionados con al menos uno del dominio (x), aunque pueden ser más. No tiene porqué ser necesariamente inyectiva (al poder asociarse varios valores de x a un mismo y).

3. Funciones biyectivas

Se denomina como tal al tipo de función en que se dan propiedades tanto inyectivas como sobreyectivas. Es decir, hay un único valor de x para cada y, y todos los valores del dominio se corresponden con uno del codominio.

4. Funciones no inyectivas y no sobreyectivas

Este tipo de funciones indican que existen múltiples valores del dominio para un codominio concreto (es decir diferentes valores de x nos van a dar una misma y) a la par que otros valores de y no se encuentran vinculados a ningún valor de x.

EJERCICIO:

TIPOS DE FUNCIONES 

1. Funciones algebraicas
Se entienden por funciones algebraicas el conjunto de tipos de funciones matemáticas caracterizadas por establecer una relación cuyos componentes son o bien monomios o bien polinomios, y cuya relación se obtiene a través de la realización de operaciones matemáticas relativamente simples: suma resta, multiplicación, división, potenciación o radicación (uso de raíces). Dentro de esta categoría podemos encontrar numerosas tipologías.

1.1. Funciones explícitas

Se entienden por funciones explícitas todos aquellos tipos de funciones matemáticas cuya relación se puede obtener de forma directa, simplemente sustituyendo el dominio x por el valor que corresponda. Dicho de otra manera, es la función en que directamente encontramos una igualación entre el valor de y una relación matemática en la que influye el dominio x.

1.2. Funciones implícitas

Al contrario que en las anteriores, en las funciones implícitas la relación entre dominio y codominio no se establece de manera directa, siendo necesario realizar diversas transformaciones y operaciones matemáticas con el fin de encontrar la manera en que x e y se relacionan.

1.3. Funciones polinómicas

Las funciones polinómicas, en ocasiones entendidas como sinónimas de las algebraicas y en otras como una subclase de estas, integran el conjunto de tipos de funciones matemáticas en las que para obtener la relación entre dominio y codominio es necesario realizar diversas operaciones con polinomios de diverso grado.

1.4. Funciones racionales

Se denominan como funciones racionales al conjunto de funciones en las que el valor de la función se establece a partir de un cociente entre polinomios diferentes de cero. En dichas funciones el dominio incluirá todos los números excepto los que anulen el denominador de la división, los cuales no permitirían obtener un valor y.

En este tipo de funciones aparecen límites conocidos como asíntotas, los cuales precisamente serían aquellos valores en los que no habría un valor de dominio o codominio (es decir cuando y o x son igual a 0). En dichos límites, las representaciones gráficas tienden a infinito, sin tocar jamás dichos límites. Un ejemplo de este tipo de función: y= √ ax

1.5. Funciones irracionales o radicales

Reciben el nombre de funciones irracionales el conjunto de funciones en las cuales una función racional aparece introducida dentro de un radical o raíz (que no tiene porqué ser cuadrada, ya que es posible que sea cúbica o con otro exponente).

1.6. Funciones definidas a trozos

Este tipo de funciones son aquellas en las que el valor de y cambia el comportamiento de la función, existiendo dos intervalos con un comportamiento muy diferente en base al valor del dominio. Existirá un valor que no formará parte de este, el cual será el que valor a partir del cual el comportamiento de la función difiera.

2. Funciones trascendentes
Se denominan funciones trascendentes aquellas representaciones matemáticas de relaciones entre magnitudes que no pueden obtenerse a través de operaciones algebraicas, y para las que es necesario realizar un complejo proceso de cálculo con el fin de obtener su relación. Incluye principalmente aquellas funciones que requieren del uso de derivadas, integrales, logaritmos o que tienen un tipo de crecimiento que va creciendo o decreciendo de manera continuada.

2.1. Funciones exponenciales

Tal y como indica su nombre, las funciones exponenciales son el conjunto de funciones que establecen una relación entre dominio y codominio en la que se establece una relación de crecimiento a nivel exponencial, es decir que existe un crecimiento cada vez más acelerado. el valor de x es el exponente, es decir la manera en que el valor de la función va variando y creciendo a lo largo del tiempo. El ejemplo más sencillo: y=ax

2.2. Funciones logarítmicas

El logaritmo de cualquier número es aquel exponente el cual será necesario elevar la base empleada con el fin obtener el número concreto. Así pues las funciones logarítmicas son aquellas en las que estamos empleando como dominio el número que se ha de obtener con con una base concreta. Se trata del caso opuesto e inverso de la función exponencial.

El valor de x ha de ser siempre superior a cero y distinta de 1 (ya que cualquier logaritmo con base 1 es igual a cero). El crecimiento de la función es cada vez menor según va aumentando el valor de x. En este caso y=loga x

2.3. Funciones trigonométricas

Un tipo de función en el que se establece la relación numérica entre los diferentes elementos que configuran un triángulo o una figura geométrica, y concretamente las relaciones que existen entre los ángulos de una figura. Dentro de estas funciones encontramos el cálculo del seno, coseno, tangente, secante, cotangente y cosecante ante un valor x determinado.

VIDEO: 

RELACIÓN Y FUNCIÓN